哪些数可表成两个平方数之和
对于一个正整数mm ，如果mm每个素因子都可以表示成两个平方数之和，则素因子分解后，用公式
(u2+v2)(A2+B2)=(uA+vB)2+(vA−uB)2(u2+v2)(A2+B2)=(uA+vB)2+(vA−uB)2
迭代即可求出最后组成mm的两个平方数
但还有一些mm，不满足上述条件。
但列出后可以发现，对于m=a2+b2m=a2+b2，两边乘上d2d2，可得
d2m=(da)2+(db)2d2m=(da)2+(db)2
于是，若mm是两个数平方和，则d2md2m也是
于是可以将一个数mm质因子中的平方项先提出来。
定理 两平方数之和定理 设mm是正整数
将mm质因子这样分解后
m=p1p2...prM2m=p1p2...prM2
其中p1,p2,...,prp1,p2,...,pr是互不相同的素因子，则mm可以表示成两个平方数之和的充要条件是每个pipi或为2或为模4余1
mm能表示成m=a2+b2m=a2+b2，且gcd(a,b)=1gcd(a,b)=1，当且仅当以下两个条件之一成立：
mm是奇数，且mm的每个素因子都模4余1mm是偶数，m/2m/2是奇数且m/2m/2的每个素因子都模4余1
回顾一下，本原勾股数组
定理2.1 （勾股数组定理）. 每个本原勾股数组（a,b,c)（a为奇数，b为偶数)都可从如下公式得出：
a=st,b=s2−t22,c=s2+t22a=st,b=s2−t22,c=s2+t22
其中s>t>=1是任意没有公因数的奇数，即互质的奇数
有以上两条定理可知，cc是一个本原勾股数组的斜边当且仅当方程
2c=s2+t22c=s2+t2
有互素的奇整数解s,ts,t
且有如下命题
毕达哥拉斯斜边命题 cc是一个本原勾股数组斜边的充要条件是cc是模4余1的素数的乘积